光照模型

着色是渲染管线中的核心任务，光照模型是光栅化管线中着色技术的核心原理。光照模型通过考虑光源特性、物体表面材质属性以及观察视角的相互关系，来模拟光照照射物体模型的表面时，物体应当具有的颜色。

着色频率

着色频率决定了法线采样的位置和频率。Flat Shading 对每个三角面片使用统一法线（面片法线通过顶点位置叉积计算）导致面片感强烈，适合低多边形艺术风格。Gouraud Shading 在顶点处计算光照后使用重心坐标插值光照强度到内部像素，但无法正确处理高光且会导致马赫带效应。Phong Shading（注意与 Phong 反射模型区分）对每个像素插值法线后独立计算光照，通过双线性插值获得像素级法线，能获得最平滑效果但计算量最大，是现代 GPU 的默认选择。

Blinn-Phong 反射模型

Blinn-Phong （布林冯）模型是一个被广泛使用的经典光照模型理论，是当今光栅化管线的奠基理论。

Phong 反射模型

传统 Phong 模型首先计算反射向量，其中 $\overrightarrow{l}$ 是光线方向、$\overrightarrow{n}$ 是表面法线：

$$\overrightarrow{r}=\text{reflect}(\overrightarrow{l},\overrightarrow{n})=2(\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{l})\overrightarrow{n}-\overrightarrow{l}$$

然后计算反射向量与视线方向 $\overrightarrow{v}$ 的夹角余弦值。高光项为：

$$k_s(max(0,\overrightarrow{r}\cdot \overrightarrow{v}){)}^{\alpha }$$

指数 $\alpha$ 控制高光集中程度，典型值在 8 到 256 之间。该模型需要计算反射向量，涉及一次向量减法和点积，在 shader 中开销较大。

Blinn-Phong 改进

Blinn 提出使用半程向量：

$$\overrightarrow{h}=\text{normalize}(\overrightarrow{l}+\overrightarrow{v})$$

替代反射向量，高光项改为：

$$k_s(max(0,\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{h}){)}^{\alpha }$$

半程向量是光线和视线角平分线方向，当视线与光线关于法线对称时与反射向量相同。该改进省去了反射向量计算，仅需一次向量加法和归一化，在高光指数较大时计算效率提升明显。完整的 Blinn-Phong 光照公式为：

$$L=k_a{I}_a+k_d{I}_{d}max(0,\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{l})+k_s{I}_s(max(0,\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{h}){)}^{\alpha }$$

其中 $k_a,k_d,k_s$ 分别是环境光、漫反射和高光系数，$I_a,I_d,I_s$ 是对应的光照强度。

能量不守恒问题

Phong 和 Blinn-Phong 模型都存在能量不守恒的问题，当 $k_d+k_s>1$ 时反射光能量会超过入射光能量。工程中常强制 $k_d+k_s=1$ 或直接归一化高光项，但这仍不能完全解决问题，这也是该模型被称为"经验模型"而非"物理模型"的主要原因。

PBR 理论

基于物理的渲染（PBR）通过微表面理论、能量守恒和菲涅尔效应来保证渲染结果的真实性，使得材质在不同光照环境下表现一致。是现代引擎（如 UE5、Unity）的实现标准。

微表面理论

微表面理论认为宏观表面由无数微小的镜面组成，每个微镜面都是理想的光滑反射镜。微镜面的法线方向服从某种概率分布，粗糙度描述了法线分布的离散程度，粗糙度越高意味着微镜面法线方向越分散。当表面越粗糙时，微镜面之间相互遮挡和阴影效应越明显，这是高光在掠射角下衰减的主要原因。

菲涅尔效应

菲涅尔效应描述了反射率随观察角度变化的物理现象，垂直观察时反射率最低，随着观察角度增大反射率逐渐上升至 1。完整的菲涅尔公式需要考虑材质的折射率，实时渲染中常用 Schlick 近似：

$$F(\theta )=F_0+(1-F_0)(1-\cos \theta {)}^5$$

其中 $F_0$ 是垂直入射时的反射率，对于大多数非金属约为 0.04，金属则可高达 0.8-1.0。这意味着掠射角下几乎所有材质都会变成类似镜面的反射体。

能量守恒

能量守恒要求出射光能量不能超过入射光能量，对于不透明材质意味着反射率和透射率之和为 1。在 BRDF 建模中体现为漫反射和镜面反射的能量分配，镜面反射越强的材质漫反射越弱，金属几乎全部能量都用于镜面反射因此没有漫反射项。

BRDF 双向反射分布函数

BRDF 定义为：

$$f_r({\omega }_i,{\omega }_o)=\frac{d{L}_o({\omega }_o)}{L_i({\omega }_i)\cos {\theta }_{i}d{\omega }_i}$$

描述了给定入射光照方向 ${\omega }_i$ 和出射观察方向 ${\omega }_o$ 时的反射光比例。BRDF 的单位是 $s{r}^{-1}$（球面度倒数），物理意义是单位立体角内的反射率。

BRDF 性质

有效的 BRDF 需要满足：线性性允许叠加多个光源的贡献，能量守恒要求：

$${\int }_{{\mathrm{\Omega }}^{+}}{f}_r({\omega }_i,{\omega }_o)\cos {\theta }_{o}d{\omega }_o\le 1$$

亥姆霍兹互易性 $f_r({\omega }_i,{\omega }_o)=f_r({\omega }_o,{\omega }_i)$ 允许交换光线方向，非负性要求 BRDF 值永远非负。实际渲染中常将 BRDF 拆分为漫反射和镜面反射两项：

$$f_r=k_d{f}_r^{diffuse}+k_s{f}_r^{specular}$$

其中 $k_s$ 实际上是菲涅尔项在特定角度下的值。

漫反射 BRDF

理想的朗伯漫反射 BRDF 是常数：

$$f_r^{lambert}=\frac{\rho }{\pi }$$

其中 $\rho$ 是反照率。除以 $\pi$ 的原因是 BRDF 是辐射亮度的比值而非能量的比值，朗伯表面对半球空间积分后反射率为 $\rho$。工程实践中 Oren-Nayar 模型通过引入微表面间的相互遮挡来模拟粗糙表面的漫反射效果，公式涉及入射角和出射角的正弦值与方位角差，能表现出粗糙表面在掠射角下的暗化现象，特别适合模拟布料、泥土等粗糙材质。

Cook-Torrance 镜面反射 BRDF

Cook-Torrance 模型将镜面反射 BRDF 分解为三项：

$$f_r^{specular}=\frac{D({\omega }_h)F({\omega }_o)G({\omega }_i,{\omega }_o)}{4(\overrightarrow{n}\cdot {\omega }_i)(\overrightarrow{n}\cdot {\omega }_o)}$$

分母中的几何项修正了微表面面积与宏观表面积的差异。$D$ 是法线分布函数（NDF）描述微镜面法线为半程向量 ${\omega }_h$ 的概率密度，$F$ 是菲涅尔项描述反射比例，$G$ 是几何遮蔽函数描述微镜面相互遮挡造成的能量损失。

法线分布函数 D

Beckmann 分布：

$$D_{beckmann}=\frac{1}{\pi {\alpha }^2{\cos }^4{\theta }_h}\exp (-\frac{{\tan }^2{\theta }_h}{{\alpha }^2})$$

基于高斯分布假设，$\alpha$ 是粗糙度参数。

GGX 分布（也称 Trowbridge-Reitz）：

$$D_{GGX}=\frac{{\alpha }^2}{\pi (({\alpha }^2-1){\cos }^2{\theta }_h+1{)}^2}$$

的长尾特性更好，能产生现实中观察到的明亮高光周围柔和的衰减效果。

Blinn-Phong 分布：

$$D_{blinn}=\frac{\alpha +2}{2\pi }{\cos }^{\alpha }{\theta }_h$$

计算简单但长尾效果不如 GGX，$\alpha$ 与 Blinn-Phong 高光指数的关系是 $\alpha =shininess/2$。

几何遮蔽函数 G

Smith 函数是现代 PBR 中的主流选择，将几何项分解为：

$$G=G_1({\omega }_i)G_1({\omega }_o)$$

对于 GGX 分布，Smith 函数的解析形式为：

$$G_1(\omega )=\frac{2\cos \theta }{\cos \theta +\sqrt{{\alpha }^2+(1-{\alpha }^2){\cos }^2\theta }}$$

该公式在粗糙表面时能有效模拟遮挡效应。更精确的 Smith 相关函数还考虑了入射光和出射光的相关性，但计算复杂度更高。早期的 Blinn 函数：

$$G_{blinn}=min(1,\frac{2(\overrightarrow{n}\cdot {\omega }_h)(\overrightarrow{n}\cdot {\omega }_o)}{{\overrightarrow{\omega }}_o\cdot {\omega }_h},\frac{2(\overrightarrow{n}\cdot {\omega }_h)(\overrightarrow{n}\cdot {\omega }_i)}{{\overrightarrow{\omega }}_o\cdot {\omega }_h})$$

通过取三个值的最小值来近似，计算简单但不够准确。

菲涅尔项 F

Schlick 近似：

$$F_{schlick}=F_0+(1-F_0)(1-\cos \theta {)}^5$$

是实时渲染中的标准选择，其中：

$$F_0={\left(\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}\right)}^2$$

是垂直入射时的反射率。对于导体（金属），$F_0$ 通常在 0.5 到 1.0 之间且与波长相关，因此金属高光带有颜色。对于绝缘体（非金属），$F_0$ 约为 0.04 且几乎不随波长变化，这也是为什么金属和塑料看起来质感不同的根本原因。完整的菲涅尔公式需要考虑 s 偏振和 p 偏振分量，计算过于复杂不适合实时渲染。

各向异性反射

各向异性 BRDF 考虑了表面存在方向性纹理（如拉丝金属、头发、布料）时反射特性的变化。这类材质需要定义切线方向 $\overrightarrow{t}$ 和副切线方向 $\overrightarrow{b}$，微表面分布函数需要在切线平面内分别考虑沿 $\overrightarrow{t}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 方向的粗糙度 ${\alpha }_t$ 和 ${\alpha }_b$。各向异性 GGX 的公式为：

$$D_{aniso}=\frac{1}{\pi {\alpha }_t{\alpha }_b{\cos }^4{\theta }_h{[\frac{({\overrightarrow{\omega }}_h\cdot \overrightarrow{t}{)}^2}{{\alpha }_t^2}+\frac{({\overrightarrow{\omega }}_h\cdot \overrightarrow{b}{)}^2}{{\alpha }_b^2}+({\overrightarrow{\omega }}_h\cdot \overrightarrow{n}{)}^2]}^2}$$

当 ${\alpha }_t={\alpha }_b$ 时退化为各向同性的 GGX。头发渲染使用 Marschner 模型，考虑了 R（表面反射）、TT（进入后穿出）、TRT（进入后内部反射再穿出）三种光路，需要单独的着色模型处理。